因数分解
因数分解は、多項式を積の形に書き換える操作です。以下に簡単な問題と難しい問題の2つの例を示します。
例題1
例: x^2 - 4
解: これは平方差の公式を使って (x - 2)(x + 2) に因数分解できます。
例題2
例: x^2 - 5x + 6
解: 因数分解を用いて解くと、(x - 2)(x - 3) となります。したがって、x = 2 または x = 3 となります。
問題
① (x-3)(x-1)(x+5)(x+7) - 960
解: まず展開して整理します。
(x-3)(x-1) = x^2 - 4x + 3
(x+5)(x+7) = x^2 + 12x + 35
次に、これらを掛け合わせます。
(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 12x + 35)
これを展開すると、x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x + 105 になります。
最後に、960を引きます。
x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x + 105 - 960 = x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x - 855
最終的な因数分解は x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x - 855 です。
② a^2 - b^2 - 4c^2 - 6a + 4bc + 9
解: 整理して因数分解します。
まず、a^2 - 6a + 9 は (a - 3)^2 になります。
次に、b^2 - 4bc + 4c^2 は (b - 2c)^2 になります。
したがって、全体を因数分解すると (a - 3)^2 - (b - 2c)^2 になります。
これを平方差の公式を使って因数分解します。
(a - 3 + b - 2c)(a - 3 - b + 2c)
③ (x^2 - 15x) + (x^2 - 225)
解: まず共通因数を見つけます。
x^2 - 15x + x^2 - 225 = 2x^2 - 15x - 225
これをさらに因数分解します。
2(x^2 - 7.5x - 112.5) = 2(x - 15)(x + 7.5)
④ x^4(2x - 3y) + 27(9y - 6x)
解: まず共通因数を見つけます。
27 を factor out します。
x^4(2x - 3y) - 27(6x - 9y) = x^4(2x - 3y) - 27(3(2x - 3y))
共通因数 (2x - 3y) を factor out します。
(2x - 3y)(x^4 - 27)
展開
展開は、多項式の積を和の形に書き換える操作です。以下に簡単な問題と難しい問題の2つの例を示します。
例題1
例: (x + 2)(x + 3)
解: これは分配法則を使って x^2 + 5x + 6 に展開できます。
例題2
例: (2x - 3)(x + 4)
解: これも分配法則を使って 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12 に展開できます。
問題
① (x-3)(x-1)(x+5)(x+7) - 960 を展開し因数分解を再度行います。
解: (x-3)(x-1) = x^2 - 4x + 3
(x+5)(x+7) = x^2 + 12x + 35
これを掛け合わせて、展開します。
(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) = x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x + 105
最後に960を引いて再因数分解します。
x^4 + 8x^3 - 13x^2 - 132x - 855
② a^2 - b^2 - 4c^2 - 6a + 4bc + 9 を展開し、同様に因数分解を行います。
解: a^2 - 6a + 9 は (a-3)^2 です。
b^2 - 4bc + 4c^2 は (b-2c)^2 です。
平方差の公式を使って因数分解します。
(a-3)^2 - (b-2c)^2 = (a-3+b-2c)(a-3-b+2c)
③ (x^2 - 15x) + (x^2 - 225) を展開して簡単化します。
解: x^2 - 15x + x^2 - 225 = 2x^2 - 15x - 225
さらに因数分解します。
2(x^2 - 7.5x - 112.5) = 2(x-15)(x+7.5)
④ x^4(2x - 3y) + 27(9y - 6x) を展開して整理します。
解: まず共通因数を見つけます。
x^4(2x - 3y) - 27(6x - 9y)
27 を factor out します。
x^4(2x - 3y) - 27(3(2x - 3y))
共通因数 (2x - 3y) を factor out します。
(2x - 3y)(x^4 - 27)